Mệnh đề tương đương là một phần kiến thức quan trọng trong chương Mệnh đề – tập hợp Toán lớp 10. Mệnh đề tương đương là nền tảng toán học cho rất nhiều phần kiến thức sau này, đồng thời được ứng dụng thường xuyên để giải bài tập. Trong bài viết này, các em học sinh cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và thực hành các dạng bài mệnh đề tương đương nhé!
1. Tổng quan lý thuyết về mệnh đề
Theo khái niệm cơ bản được đề cập trong sách giáo khoa Đại số lớp 10, mệnh đề được định nghĩa là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng sai. Hoặc học sinh có thể hiểu là, một mệnh đề toán học không thể vừa mang tính đúng vừa mang tính sai.
2. Mệnh đề tương đương
2.1. Các mệnh đề nền tảng của mệnh đề tương đương
Để hiểu được bản chất của mệnh đề tương đương, chúng ta cần nắm vững được các loại mệnh đề nền tảng như mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo.
2.1.1. Mệnh đề kéo theo
Cho P và Q là hai mệnh đề riêng biệt. Có mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.
Ký hiệu mệnh đề kéo theo: $PRightarrow Q$. Mệnh đề $PRightarrow Q$ được phát biểu bằng lời là: “P kéo theo Q”, “vì P nên Q”, “P suy ra Q”,…
Ví dụ về mệnh đề kéo theo:
Cho 2 mệnh đề A: “3 chia hết cho 2” và mệnh đề B:”4 là số chẵn”. Khi đó, $ARightarrow B$ được phát biểu là: “Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn”.
Đây là một mệnh đề kéo theo đúng bởi A sai, B đúng (do mệnh đề A sai không ảnh hưởng đến tính đúng của mệnh đề B, nên mệnh đề kéo theo $ARightarrow B$ vẫn đúng).
Lưu ý, trong phần mệnh đề kéo theo các em cần nắm vững thêm kiến thức về phép kéo theo hai chiều. Phép kéo theo hai chiều được hiểu là mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q và ngược lại. Ký hiệu là $PRightarrow Q$, đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”. Mệnh đề kéo theo chỉ đúng khi P và Q có cùng chân trị.
Ví dụ về mệnh đề kéo theo 2 chiều như sau:
Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ là một mệnh đề đúng bởi vì nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta mới có thể rút ra đẳng thức $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ theo định lý Pi-ta-go.
Xét ví dụ sau: Cho mệnh đề P: “Tôi có 1 triệu đồng”, Q:”Số 3 là số nguyên tố”. Khi đó mệnh đề PQ được phát biểu là: “Nếu tôi có 1 triệu đồng thì số 3 là số nguyên tố”.
Ở ví dụ trên, ta thấy $PRightarrow Q$ phát biểu thành lời có vẻ như là một mệnh đề sai. Tuy nhiên, đôi khi mệnh đề $PRightarrow Q$ hơi khó nhận biết được giá trị chân lý khi phát biểu thành lời.
Từ đó suy ra, tính đúng sai của mệnh đề kéo theo được xét thông qua quy tắc: Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ta có bảng chân trị của mệnh đề kéo theo:
Khi xét mệnh đề $PRightarrow Q$, ta không quan tâm xem P có phải nguyên nhân của Q hay không mà chỉ cần quan tâm đến tính đúng hay sai của 2 mệnh đề đó. Bởi vì, $PRightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng hoặc Q sai nên khi chứng minh $PRightarrow Q$ đúng, ta chỉ xét trường hợp P và Q cùng đúng.
2.1.2. Mệnh đề đảo
Ta có mệnh đề kéo theo $PRightarrow Q$ . Khi đó, mệnh đề $QRightarrow P$ chính là mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo $PRightarrow Q$ đã cho.
Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về mệnh đề đảo:
Cho mệnh đề “Nếu tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền của tam giác đó bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông.” Mệnh đề đảo của mệnh đề trên được phát biểu là: “Nếu tam giác có bình phương của 1 cạnh bằng tổng bình phương của 2 cạnh còn lại, tam giác đó chính là tam giác vuông”.
Xét thấy, mệnh đề trên chính là phát biểu của định lý Pi-ta-go. Như vậy, mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
Lưu ý khi xét tính đúng sai của mệnh đề đảo, khi mệnh đề thuận đúng thì chưa chắc mệnh đề đảo đã là một mệnh đề đúng. Ví dụ dưới đây sẽ giúp các em hiểu hơn điều này:
Cho mệnh đề có tính đúng là “2 tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau”. Mệnh đề đảo được phát biểu là: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đó là 2 tam giác bằng nhau” lại là một mệnh đề sai.
2.2. Định nghĩa mệnh đề tương đương
Mệnh đề tương đương bản chất là một trường hợp đặc biệt của mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương phát biểu bằng lời như sau:
Nếu mệnh đề thuận $PRightarrow Q$ và mệnh đề đảo $QRightarrow P$ đều đúng, khi ấy P và Q được gọi là 2 mệnh đề tương đương, ký hiệu là $PRightarrow Q$ .
Có 4 cách đọc mệnh đề tương đương như sau:
- P tương đương với Q.
- P khi và chỉ khi Q.
- P nếu và chỉ nếu Q.
- P alf điều kiện cần và đủ của Q.
Các em cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu hơn về mệnh đề tương đương:
Cho mệnh đề P: “Tứ giác tồn tại 3 góc vuông”. Mệnh đề Q: “Tứ giác là hình chữ nhật”. Mệnh đề tương đương PQ là: “Tứ giác có 3 góc vuông khi và chỉ khi tứ giác là hình chữ nhật”.
3. Tổng hợp bài tập mệnh đề tương đương chọn lọc
Câu 1: Cho tam giác ABC, xét mệnh đề sau đây:
P: “Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A”
Q: “Tam giác ABC là tam giác vuông có cạnh AB=AC”
Phát biểu mệnh đề tương đương của P và Q bằng 2 cách. Cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
Câu 2: Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây. Nếu mệnh đề sai, hãy sửa lại để trở thành mệnh đề đúng:
-
Tam giác ABC đều Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ.
-
có nghiệm kép $triangle b^2-4ac=0$. -
Tam giác ABC cân tại A Hai đường cao BE và CF của tam giác có độ dài bằng nhau.
-
$forall a,bin mathbb{R}$:
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. “ABC là tam giác đều $Leftrightarrow $ Tam giác ABC cân.
B. “ABC là tam giác đều $Leftrightarrow $ Tam giác ABC cân và có một góc 60 độ.
C. “ABC là tam giác đều $Leftrightarrow $ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
D. “ABC là tam giác đều $Leftrightarrow $ Tam giác ABC có hai góc bằng 60 độ.
Câu 5: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại
c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Giải chi tiết
Câu 1: Cho tam giác ABC và 2 mệnh đề:
P: “Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A”
Q: “Tam giác ABC là tam giác vuông có cạnh AB=AC”
PQ: Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác vuông có 2 cạnh AB=AC.
PQ: Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông có 2 cạnh AB=AC.
Từ đó, ta có thể suy ra mệnh đề PQ là mệnh đề đúng.
Câu 2:
-
Tam giác ABC đều Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ. Ta thấy:
ABC là tam giác đều $Rightarrow $ Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ (đúng)
Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ $Rightarrow $ Tam giác ABC là tam giác đều (sai).
Vậy mệnh đề trên sai.
Sửa lại: Tam giác ABC đều $Rightarrow $ Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ.
-
có nghiệm kép $triangle b^2-4ac=0$.
Mệnh đề trên là đúng vì A=>B đúng và B=>A đúng.
-
Tam giác ABC cân tại A Hai đường cao BE và CF của tam giác có độ dài bằng nhau.
Đây là mệnh đề đúng do A=>B và B=>A đúng.
-
$forall a,bin mathbb{R}$:
Ta thấy:
$forall a,bin mathbb{R}$: 
=> a > c là mệnh đề đúng.
$forall a,bin mathbb{R}$: a>c => là mệnh đề sai.
Như vậy mệnh đề trên là sai.
Sửa lại: $forall a,bin mathbb{R}$: => a > c
Câu 3: Chọn D
A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1,3 là số lẻ.
B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.
C là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1,3 là số lẻ.
Câu 4: Chọn A.
Mệnh đề kéo théo “ABC là tam giác đều => Tam giác ABC cân” là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo “Tam giác ABC cân =>ABC là tam giác đều” là mệnh đề sai.
Do đó, 2 mệnh đề “ABC là tam giác đều” và “Tam giác ABC cân” không phải là 2 mệnh đề tương đương.
Câu 5:
a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
b) Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình thoi là tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
c) Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương
Trên đây là tổng hợp lý thuyết cùng với bộ bài tập có hướng dẫn chi tiết về mệnh đề tương đương. Các em học sinh có thể lấy đây làm tài liệu tham khảo, vận dụng, ghi nhớ để thành thạo hơn trong dạng mệnh đề này. Ngoài ra, để học thêm nhiều hơn các kiến thức Toán lớp 10, Toán THPT,… truy cập ngay vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây ngay nhé!
